(急,不是很难,一时忘了!!!!)等边三角形ABC中，BD=1/3BC,CE=1/3AC.AD、BE交于P点.求证：AP垂直CP

如图：http://hi.baidu.com/lbc998/album/item/4299c4080080aec163d9860c.html

设DC中点为Q,连接EQ、DE，
明显：ΔCEQ为正三角形，所以，∠QEC=60度
而ΔEDQ为等腰三角形，所以：∠EDQ=∠QED=∠EQC/2=30度，
所以，∠DEC=90度；
又由于ΔBEA≌ΔADC，所以 ∠AEB=∠ADC
可知：ΔAPE∽ΔACD
∠APE=∠ACD
所以，四边形PECD四点共圆，
所以，∠DPC=∠DEC=90度 (同弧所对圆周角相等)
即：AP垂直CP

设变长为a,依次计算以下内容：
AD长度
sin(BAD)/sin(BDA)=1/3

AE/sin(ABE)=BE/sin(BAE)
CE/sin(CBE)=BE/sin(BCE)
由右边相等，得AE/sin(ABE)=CE/sin(CBE)
即：sin(ABE)/sin(CBE)=AE/CE=2

BP/sin(BAP)=AP/sin(ABP)
即：BP/sin(BAD)=AP/sin(ABE)
BP/AP=sin(BAD)/sin(ABE)

同理得到BP/DP,即可得到DP长度。
还可以再算出角DAC的正玄，在根据CD长度核算角DPC的正玄。

sin(ABP)=
sin(PBD)
AD长度=AP长度+PD长度

因为BD=1/3BC 所以CD=2/3BC
因为CE=1/3AC 又ABC是等边三角形，AC=BC 所以CE=1/3BC
所以CD=2CE 有 角BCA=60度
所以CED是直角三角形
所以DE垂直AC