上班第二天,左手食指被砸断一节半,没有劳动合同,没有保险,该怎么办呢?

对你的不幸我感到很是同情！
由于你刚工作了两天，单位肯定还没有给你上工伤保险，出了这样的事，他们也是不愿意的，你更是不愿意的。不过你们单位还算人道，一直给你支付医药费。
现在你要做的事情是：首先找单位协商，要求他们确认你与单位的劳动关系，最好的办法就是要求从你来的那天签订劳动合同，如果他们说等你出了院再开始签，千万别上当。你就要坚持到底，一定要从你来的那天，就是受伤的前一天开始签。如果他们不想承认你的劳动关系，不知你有没有什么证据能证明你与单位的劳动关系，比如考勤、工牌、录用通知等之类的东西，如果都没有那就可能不太好办了，这种情况下，如果有条件的话，你可以想办法在你们单位领导或同志来看你的时候私下进行录像或录音，这也是没有办法的办法了。

马上去申请工伤鉴定！

补充楼上,如果单位不认可你们之间有劳动关系,恐怕就要去申请劳动仲裁请求确认你与单位之间存在事实劳动关系了.这个怎么举证是问题才在那干二天.拿着判决再去劳动局申请鉴定!