两个正整数的积是两数和的九倍，请问两数之和有几种可能？

设两个数为a、b
则ab=9(a+b)，即ab-9a-9b=0
亦即：(a-9)(b-9)=81 (这一步明白吗？)
将81分解因数有：81=1*81=3*27=9*9
1*81对应着以下4种情况：a-9=1，b-9=81；a-9=-1，b-9=-81；a-9=81，b-9=1；a-9=-81，b-9=-1。这其中负数的要舍区，即剩下2种可能。
3*27也有2种可能。
9*9对应的情况有：a-9=9，b-9=9；a-9=-9，b-9=-9。舍去负值，只剩1种可能。
所以总共有2+2+1=5种可能。

假设两数分别为a,b
则有：ab=9a+9b
有b=9+9b/a
a=9+9a/b
假设a>b且b/a化为最简后为p/q
则9b/a=9p/q为整数，故q为3或9，又因为9a/b=9q/p,则p也为3或9，与p/q最简相矛盾，所以p=1
所以有ab=9(a+b)=81(2+b/a + a/b)是整数
若q=3则ab=81*5+81*(1/3)=432且a=3b
所以a=36,b=12 a+b=48
若q=9则ab=81*11+81*(1/9)=900且a=9b
所以a=90,b=10 a+b=100
两种情况