如何证明等差数列

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明：

1）容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2）假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1时，推测仍成立。

综上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。