提高责任感 可以说enhance responsibility 吗？

可以，但一般我们汉语习惯说的是“增强责任感”英语是
Enhance (one's) sense of responsibility.

一般是“提高水平”，责任感是“增强”

例如这句：“增强我们的历史责任感”英语是：
Enhance our sense of historical responsibility.