高等数学,关于拉格朗日的应用.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 20:56:33
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f’(x)不等于0.
求证:存在s,h∈(a,b),使得 f’(s)/f’(h)=(e^b-e^a)*e^(-h)/(b-a).

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解：
因为y=f(x)和y=x在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，且f’(x)不等于0.
由柯西中直定理：
(f(b)-f(a))/b-a=f'(s)/1.......(1)
同理：
(f(b)-f(a))/(e^b-e^a)=f'(h)/e^h.....(2)
（1）除以(2)
(e^b-e^a)/（b-a）=e^h*f'(s)/f'(h)
即f’(s)/f’(h)=(e^b-e^a)*e^(-h)/(b-a)

注意：题中只说存在s,h∈(a,b),没有说它们不相等，因此允许有相等的时候。

e^x在[a,b]上用中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得(e^b-e^a)/(b-a)=e^ξ，

我们取s=h=ξ,就得到了我们要的等式。

在碰到要你证明存在两个的时候，你首先看一看有没有要求这两个必须不同，如果没有，看看它们相同情况下，容不容易证明。