一个物体围绕另一个物体作圆周运动，那么这个物体相对于圆心的物体有没有作、作相对运动？

做相对运动了。围绕另一个物体做圆周运动就是把“另一个物体”当作参照物。它相对于圆心（就是“另一个物体”所在的位置）做圆周运动。
没有发生多普勒效应。因为圆心是波源，波的传播方向都是沿半径方向的。做圆周运动的物体在半径方向没有速度，所以就没有发生多普勒效应。
对补充：
我觉得测试卷想表达的意思可能是“如果一个物体对于波源作“相向”运动，那么就会发生多普勒效应”。或者就是测试卷不太严密。不过说实话，能考虑到圆周运动这种情况的人不多。你的思维真的很严密，呵呵。个人意见，仅供参考。