一个关于证明的数学问题

只需证明 202020....202 有401的倍数。401是质数。
只需证明 101010....101 有401的倍数。
假设10101...01 （k个1），除以401的余数为 a(k), a(k)<401
当超过401个这样的 10101...01 除以 401 后，一定存在相同的余数，假设是
a(i) = a(j),
于是，10101...01（i个1）- 10101...01（j个1）= 10101...01000000..0,
差一定是上面的形式，即 10101...01 后面跟着一些0，而这个数是 401 的倍数。这个数是 1010101...01 * 100000..00 的形式，显然后面的 10000...00 不可能是 401 的倍数，于是只能是前面的 10101...01 是401的倍数，问题得证。

证明，任意三个自然数，通过适当的四则运算，一定能得到末尾为零的数。
如何证明？