完美数的特征

●稀少而有趣的完美数

已知自然数a和b，如果b能够整除a，就说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。

例如6，12，14这三个数的所有真因数：

6 ：1，2，3； 1+2+3=6 6 = 6

12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=16 16>12

14：1，2，7； 1+2+7=10 10<14

像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数（不足数）；大于真因数之和的（如14）叫做盈数或过剩数；恰好相等的（如6）叫做完全数，也称为完美数。

古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年,尼可马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓越的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所以盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完美数则易于计数，而且又顺理成章……，它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。”

现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现29个，而且都是偶完美数。前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。

经过不少科学家的研究，现在已经发现，假如数(2^n-1)是素数，那么数( 2^(n-1)×(2^(n-1)) )就一定是完全数，其中的n也同样是素数。为此，数学家就用英文prime（素数）的第一个字母p代替n，还把形如 (2^p -1)的素数叫“默森尼数”。但是对于下面两个问题：“偶完全数的个数是不是有限的？”“有没有奇完全数？”数学家到现在还没有解决。

完美数有许多有趣的性质，例如：

1.它们都能写成连续自然数之和：

6=1＋2＋3

28=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7

8128=1＋2＋3＋4……＋127

2.它们的全部因数的倒数之和都是2。

1/1+1