一道百思不得其解的整数问题

除了(2,4)或(4,2)就再也没有其它解了！
以下是证明，需要一定的微分知识才能看懂;
考虑函数f(x)=x/lnx;其导数是(lnx-1)/(lnx)^2;
显然当lnx-1>0的时候导数是大于0的,即x>e时f(x)是单调递增的!
由于题目要求是两个不相等的数,所以可以令y>x>e=2.71828…
由f(x)单增可以有f(y)>f(x)即y/lny>x/lnx=>ylnx>xlny=>x^y>y^x
于是得到一个结论:就是y和x两个同时大于2.718时x^y是不等于y^x的!
由此可知x,y中至少有一个数小于2.718
若x<2.718则x=1或2;
显然x=1时;x^y=1,y^x=y;只有y也等于1才能相等,这与y不等于x矛盾!
若x=2;则y=2或y=4,显然y=2是不行的,故y=4;
所以原方程有一组正整数解(2,4),如果定x>y的话那还有另一组解(4,2)!

设m^n=n^m=(n^x)^n（x为某一常数）
则有：
xn=m
n^x=m
所以xn=n^x
n^(x-1)=x
此时，你只需令x为大于1的正整数，解得n看是否也为正整数，就行了
当x=2时，n=2,m=xn=4
当x=3时，n=根号3，m=xn=3根号3（舍）
当n=4时。。。。。。你有兴趣就继续往下算，我告诉你方法了，拿分来

没有了