UC知道2008第40届加拿大数学奥林匹克答案
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 01:42:58
试题：http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardID=53&ID=34454&page=1
1、凸四边形ABCD中， AB 是最长边。点M 、N 分别在边AB 、BC 上，
且线段AN 、CM 都可二等分四边形ABCD的面积。求证：线段MN 平分对角线BD。
5、国际象棋中有个棋子叫“车”，棋盘上“车”的自避行走是指“车”这样行走的一条踪迹路径：从一个
方格出发穿过两个方格之间的公共边界（不能斜着走）进入另一个方格，但走过的方格不能再走。即
“车”的路径是不自交的。
令R(m,n)表示m × n 的棋盘（m 行，n 列）上自避行走的“车”从左下角走到左上角的路径的数目。
例如： R(m,1)＝1， R(2, 2) ＝2， R(3, 2)＝4， R(3,3) ＝11。求出R(3, n) 的表达式（用n 表示）。
第1题：当画出上面这个图估计证明就很简单了。∵$S_（△BCM）＝S_（△ABN）＝frac{1}{2}S_（四边形ABCD）$，
即$S_（△BMN）＋S_（△CMN）＝S_（△BMN）＋S_（△AMN）＝frac{1}{2}S_（四边形ABCD）$，
即$S_（△CMN）＝S_（△AMN）$，∴MN‖AC（看来是MN平分一条对角线BD，平行另一条对角线AC）。
过点D作PQ‖AC，交BA的延长线于点P，交BC的延长线于点Q，则PQ‖AC‖MN，
∴$S_（△BCM）＝S_（四边形ADCM）＝S_（△ADC）＋S_（△ACM）＝S_（△PAC）＋S_（△ACM）＝S_（△PCM）$，
PM＝BM，同理BN＝CQ（这个同理不写也已得出MN是△BPQ的中位线），即MN是△BPQ的中位线，设BD交MN于点H，则BH＝HD。
第3题证明：$frac{a－bc}{a＋bc}＋frac{b－ca}{b＋ca}＋frac{c－ab}{c＋ab}≤frac{3}{2}$，
等价于$frac{（a＋bc）－2bc}{a＋bc}＋frac{（b＋ca）－2ca}{b＋ca}＋frac{（c＋ab）－2ab}{c＋ab}≤frac{3}{2}$，
等价于$1－frac{2bc}{a＋bc}＋1－frac{2ca}{b＋ca}＋1－frac{2ab}{c＋ab}≤frac{3}{2}$，
等价于$frac{2bc}{a＋bc}＋frac{2ca}{b＋ca}＋frac{2ab}{c＋ab}≥frac{3}{2}$，
等价于$frac{2bc}{1－b－c＋bc}＋frac{2ca}{1－c－a＋ca}＋frac{2ab}{1－a－b＋ab}≥frac{3}{2}$，
等价于$frac{2bc}{(1－b)(1－c)}＋frac{2ca}{(1－c)(1－a)}＋frac{2ab}{(1－a)(1－b)}≥frac{3}{2}$,
等价于$4bc(1－a)＋4ca(1－b)＋4ab(1－c)≥3(1－a)(1－b)(1－c)$，
等价于$(4bc－4abc)＋(4ac－4abc)＋(4ab－4ab