18X18的方格每格中填入一个彼此不相等的正整数.求证:至少有两对相邻小方格所填之数的差均不小于10

证明：设a，b分别为这324个正整数中的最小者和最大者.由于这些数互不相等，所以有b-a≥323.

(1)当a和b所在的方格既不同行又不同列时.
从a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到b所在的格.如图1所示.
由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途经的方格无一相同)，由a所在的方格到达b所在的方格.显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次.
若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b-a≤34×9=306.这与事实不符.
路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10.

(2)当a和b所在的方格同行或同列时.
与情况1类似，如图2所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10.