又来一个高二数学~~~空间的

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 15:15:27
ABCD是矩形 ，PA垂直与平面ABCD ，三角形PAD是等腰三角形，M，N分别是AB ，PC 的中点。求证MN垂直于平面PCD

图画不了~
希望大家帮帮忙~
嘿嘿~
谢谢啊~

连接PB,作PB的中点S,连接SM,SN
PA垂直与平面ABCD ,且ABCD是矩形
所以
PA垂直与DA
AB垂直与DA
所以,DA垂直与平面PAB
所以,DA垂直与SN和PB
又因为SN平行于DA
所以,SN垂直与AB (1)
在三角形PAB中,S,M分别是AB,PB的中点,且PA垂直与AB
所以,SM垂直与AB (2)
由1,2得
AB垂直与平面SMN
所以,AB垂直与MN
且AB平行于DC
即MN垂直与DC (3)

平面AMN与PD交于点Q，Q是PD中点
AQ是MN在平面PAD上的投影，所以AQ垂直PD，MN也垂直PD
用勾股定理证明PM=MC，所以MN垂直PC
MN垂直两相交直线PD，PC所以垂直平面