我父亲与邻居互相殴打过程中，我父亲被打断三根肋骨，现在正在住院。请问警方应如何处理？

首先，谁先动手，对最后责任的划分起作用的，如果没办法确定，就只能定性为互殴。
伤情鉴定在医院就做了，不知道你问的是不是伤残鉴定，那可以在出院以后做。
不拘留与伤残鉴定是两回事，根据《治安管理处罚法》第二十六条 有下列行为之一的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款：
（一）结伙斗殴的；
（二）追逐、拦截他人的；
（三）强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物的；
（四）其他寻衅滋事行为。
至于起诉，建设现在不用急着做，因为你一方面要照顾父亲，另外，伤得如何现在还没有结果，医药费什么的都还不知道得多少，你怎么主张对方赔偿？等都定下来了再说吧。但要千万记着：对人身伤害的起诉要在1年内进行，要不就过了诉讼时效，你就失去了胜诉权。
最后，祝你父亲身体早日康复，祝你维权成功！

谁先动手很关键，如果是对方先动手的，可以索赔损失。如果是你父亲先动手的，要看对方的有没有受伤，严不严重。如果对方没有受伤他就属于防卫过当。他有一定的责任需要赔偿或按比例赔偿。如果他的伤势和你父亲的差不多，个人建议你家和对方进行民事调解，如果由司法部门解决你们不占优势