数列Sn=2an+(-1)∧n，求通项an?,急～～～

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 15:09:40
我用S(n+2)-Sn,求出了[a(n+2)+a(n+1)]/[a(n+1)+an]=2,并通过构造等比数列〔Bn〕
Bn=a(n+1)+an=2∧(n-1),当然通过Sn,早就求出了a1=1,a2=0,就解到这里而已
我想可能通过特征方程可以解，可是我不知道怎么构造好．（个人理解仅供参考）

你的想法是正确的。

一楼的解法是由[a(n+2)+a(n+1)]=2[a(n+1)+an],a2+a1=1,
得a(n+1)+a(n)=2^(n-1)...........(1)
把（1）化成一楼第1行形式。

通过特征方程解，一般这样做：
a(n+2)-a(n+1)-2a(n)=0............(2)
的特征方程为t^2-t-2=0,
t=-1和t=2称为两个特征根.
由特征根t=-1,(2)可以化成[a(n+2)+a(n+1)]=2[a(n+1)+an],a2+a1=1,由此得出(1).
由特征根t=2,(2)可以化成[a(n+2)-2a(n+1)]=-[a(n+1)-2an],a2-2a1=-2,由此得出
a(n+1)-2a(n)=(-2)*(-1)^(n-1).....(3).
由(1),(3)解出a(n)=[2^(n-1)+2(-1)^(n-1)]/3.

a(n+1)-1/3*2^n=-(an-1/3*2^(n-1))

那{an-1/3*2^(n-1)}是等比数列，公比-1

则an-1/3*2^(n-1)=(-1)^(n-1){a1-1/3}=2/3*(-1)^(n-1)

则an=1/3[2^(n-1)+2(-1)^(n-1)]