06年数学竞赛题：n是正整数，且n的2次方能被n+2008整除。问n的最小值？

2008 过程如下:
依据题意得到等式:n^2/(n+2008)=m(m为正整数)
即n^2-mn-2008m=0,
n为正整数,所以要想此方程有解,那么必须能因式分解,即写成如方程
(x+a)(x+b)=0的形式
那么就有以下几种情况:(2008也可以先分解,2008=251×2×2×2)
-251+8m=-m 或-502+4m=-m或-1004+2m=-m或-2008+m=-m
将以上四个简化得到:
9m=251或5m=502或3m=1004或2m=2008
M为正整数,所以以上四个等式只有最后一个有解,m=1004,代入原等式,
n^2-1004n-2008×1004=0,
(n-2008)(n+1004)=0
n为正整数,所以n=2008

2006