如何用微积分推出球体的表面积,体积公式

设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2(2(pi)(R^2-x^2))
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.

球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)

用球坐标三重积分，都可以积出来

高等数学书上有

V=(4/3)πr^3
S=4πr^2

由此可以看出
dV/dr=S，
即，对体积进行微分，可得其表面积。

对于圆
S=πr^2
C=πr
dS/dr=C，
即，对面积进行微分，也可得到圆的周长。

V=(4/3)πr^3
S=4πr^2

由此可以看出
dV/dr=S，
即，对体积进行微分，可得其表面积。

对于圆
S=πr^2
C=πr
dS/dr=C，
即，对面积进行微分，也可得到圆的周长。
回答者：lqanlf - 魔法师 五级 5-14 12:31
高等数学书上有
回答者：heroheros - 初入江湖 二级 5-14 12:31