E为正方形ABCD边AB延长线上一点,DE交对角线AC于F,交BC于G,H为GE中点,求证:BF垂直BH.

解:
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC
∵AC为正方形ABCD的对角线
∴∠DCF=∠BCF
∵在△BCF和△DCF中,
∴BC=DC,∠DCF=∠BCF,FC=FC
∴△BCF全等于△DCF
∴∠FBC=∠CDE
∵DC平行于AE
∴∠E=∠CDE(两直线平行，内错角相等）
∴∠FBC=∠E
∵在Rt△EBG中，H为GE中点
∴BH=EH(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠E=∠HBE
∴∠FBC=∠HBE
∵∠HBE+∠GBH=90°
∴∠FBG+∠GBH=∠FBH=90°
∴BF垂直BH