已知p的平方与m的平方和为n的平方，其中p为质数m，n为自然数。求证2(p+m+1)是完全平方数。

p^2+m^2=n^2
p^2=n^2-m^2=(n-m)(n+m)
因为p为质数
所以p^2可分解为1*p^2或p*p
因为n-m和n+m不相等且n+m>n-m
所以n+m=p^2,n-m=1
所以m=(p^2-1)/2

2(p+m+1)
=2p+p^2-1+2
=p^2+2p+1
=(p+1)^2
得证

稍微修改一下楼上的
首先题有点小问题，因为自然数包括0，那么如果
p=2,m=0,n=2的话，则2(p+1+m)=6不是完全平方数
所以m不等于0，所以m>=1,进而才有m+n>m-n
p^2+m^2=n^2
p^2=n^2-m^2=(n+m)(n-m)
p为质数
n+m=p^2,n-m=1
m=(p^2-1)/2
2(p+m+1)
=2p+p^2-1+2
=p^2+2p+1
=(p+1)^2
为完全平方数

p^2+m^2=n^2
=>p^2=n^2-m^2=(n+m)(n-m)
p为素数
=>p^2的因子有且只有1,p,p^2
也就是说
p^2可以表示为p*p或1*p^2
但n+m不等于n-m
=>只可能是n+m=p^2 n-m=1
=>n=p^2-m m=n-1
=>m=p^2-m-1
=>2m=p^2-1
=>2(p+m+1)=2p+2m+2=2p+p^2-1+2=(p+1)^2
是平方数

楼上正解。
利用了质数的性质，这个是解题的关键。