西南联大是怎么招生的？那时有高考吗？

通过考试。且那时考上很不易，很多考生都是徒步数千里赶到昆明应考的。
有高考，但不是全国统一的，而是几个学校联合招生（在合并前），一般清华、北大、南开，联合招生。合并后，全国也仅有数所大学，且处于抗战时期联系不便，一般自主招生。

何兆武《上学记》、汪曾祺《人间草木》中都有描述，可参看。