求数列通向

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 05:11:11
f（n）=1+1/2+1/3.....1/n,问素否存在g(n),使等式f（1）+f（2）+f（3）+...f（n）+n=ng(n)f（n）总成立(别告诉我不存在,实际上是存在的),求g(n)
问题补充：仅含n的未知数表示

解：探究
分别把n＝1，2，3，4，
代人发现：g(1)
＝2，g(2)＝3/2,g(3)=4/3,g(4)=5/4
猜测：g(n)=(n+1)/n
证明：n=1,命题显然成立
假设n=k命题成立：g(k)=(k+1)/k
当n=k+1时
f（1）+f（2）+f（3）+...f（k）＋f(k+1)+k+1=(k+1)g(k+1)f（k+1）
kg(k)f（k）+f(k+1)+1=(k+1)g(k+1)f（k+1）
(k+1)f（k）+f(k+1)+1=(k+1)g(k+1)f（k+1）