正方形面积最大

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 09:33:59
求证:周长相等的任意四边形中,正方形面积最大(注意:不仅仅是矩形中)
最好用初二学了的知识,最好把图也带着

设各边长为abcd,a,b夹角为x,c,d夹角为y,周长为l
S=0.5*(absinx+cdsiny)<=0.5(ab+cd)(等号在x=y=90度时成立)
<=((a+b)^2+(c+d)^2)/8 (等号在a=b,c=d时成立)
<=(a+b+c+d)^2/16 (柯西不等式,当a+b=c+d时等号成立)
=l^2/16
所以当a=b=c=d，且x=y=90度(因为已经是菱形，所以其他两角也为90度)时S有最大值为l^2/16
所以正方形面积最大