已知函数f(x)=lgx的绝对值, 求证:当0<m<1时,f(m)>f(2-m)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 16:50:07
谢谢大家

证明:

当0<m<1时,lgm<0
所以f(m)=|lgm|=-lgm

2-m>1,lgm>0
所以f(2-m)=|lg(2-m)|=lg(2-m)

要证-lgm>lg(2-m)
只需证lg(2-m)+lgm<0
lg[m(2-m)]<0=lg1
只需证m(2-m)<1
即证m²-2m+1>0

因为(m-1)²>0恒成立
所以m²-2m+1>0恒成立
所以当0<m<1时,f(m)>f(2-m)也恒成立~

0<m<1时
y=lgx<0

0<m<1
-1<-m<0
-1+2<2-m<2+0
1<2-m<2
所以lg(2-m)>0

所以f(m)=|lgm|=-lgm=lg(1/m)
f(2-m)=|lg(2-m)|=lg(2-m)
1/m-(2-m)
=(m^2-2m+1)/m
=(m-1)^2/m
0<m<1
所以(m-1)^>0
m>0
所以(m-1)^2/m〉0
所以1/m-(2-m)
因为y=lgx是增函数
所以f(m)>f(2-m)

1<2-m<2
故f(m)=|lgm|=-lgm,f(2-m)=lg(2-m)
f(2-m)-f(m)
=lg(2-m)+lgm
=lg(2m-m^2)
=lg[-(1-m)^2+1]
∵0<1-m<1,
∴0<(1-m)^2<1,-1<-(1-m)^2<0
∴0<-(1-m)^2+1<1
∴lg[-(1-m)^2+1]<0，即lg(2-m)<f(m)

<