数学证明：（比较8的9次方和9的8次方的大小） 要求；用严密的数学方法证明！ 谢谢

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 09:26:56

运用数学归纳法！

比较 x = k^(k+1) 和 y = (k+1)^k的大小
x(1) = 1 < y(1) = 2
x(2) = 8 < y(1) = 9
x(3) = 81 > y(1) = 64
x(4) = 1024 > y(1) = 625

那么假设 x(k) > y(k), k>=3 成立，即 k^(k+1) > (k+1)^k , 那么
(k+1)^(k+2) - (k+2)^(k+1)
= [ k * (k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
= k^(k+1) * [(k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
> (k+1)^k * [(k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
= (k+1)^(2k+2) / k^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= [ (k+1)^2 ]^(k+1) / k^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= [ (k+1)^2 / k ]^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= (k + 2 + 1/k)^(k+1) - (k+2)^(k+1)
> 0

所以 当 k>=3 的时候， k^(k+1) > (k+1)^k 成立！
k=8的时候， 8^9 > 9^8

对于任意整数n≥3，若比较n^(n+1)与(n+1)^n，可将两数相除：
因(n+1)^n/n^(n+1)
=[（n+1）/n]^n/n
=(1+1/n)^n/n

因为当n<∞时，(1+1/n)^n<e
故(n+1)^n/n^(n+1)<e/n<1

所以(n+1)^n<n^(n+1)
故8^9>9^8

2^7=128>9^2=81,
2^10=1024>10^3>9^3,