一道极其非常超级难的数学题Ⅳ

B
从P向平面α做垂线，垂足为O，则PO就是P到α的距离
连接OA,OB,OC
因为PA=PB=PC
所以OA=OB=0C
所以角OAC=OCA,角OBC=角OCB
所以角OAC+角OBC=角BCA=120°
因为四边形内角和为360°
所以角AOB=120°
因为OA=OB
所以角OAB=角OBA=30°
又因为AB=15,
所以OA=(AB/2)/(COS角OAB)
=15/(根号3)＝5×（根号3）
所以：PO＝根号（PA^2-OA^2）
＝根号（14^2-25×3）
＝11
故选B

P是△ABC一个外接球的圆心，半径为14，记为球P
△ABC的外接圆直径为AB/sin∠BCA=10根号3，半径为5根号3（这个圆相当于球P的一个截面，所求的距离就是球心到这个面的距离）
所以所求的距离为根号（14^2-5根号3的平方）＝11
选B

因为到三点的距离相等；所以P点肯定在经过ABC三角形所在圆的圆心且垂直于平面的直线上。所以只要求出ABC三点确定的圆的半径就可求出距离。
因为120度角度对应的长度是15，则与之对应同圆弧的∠BOA=240度。（圆的基本知识）所组成的三角形OAB为等腰三角形，一个角为120度。可求得半径为5√3。然后勾股定理得所求值为11，选B。