在三角形ABC中,角ACB等于90度,M是AB的的中点,P,Q分别BC,AC上的点,试比较线段AB与三角形MPQ周长的大小

很明显线段AB大于三角形MPQ周长

连MC

因为MC为直角三角形ABC中线，所以AM=MB=BC

在等腰直角三角MCB中，MC=MB，所以MC和MB是三角形MCB中最长的线段

所以MC>MP

同理AM>MQ

所以MQ+MP<2MC=AB

PS：可能你会问，为什么MC>MP
那么，你可以过M作MN垂直BC与N
因为直角三角形MCN和直角三角形MPN的一条直角边重合，而M、P、C共线。因为是外角，所以角MPN>角MCN，所以SIN角MPN〈SIN角MCN，又因为MN相等，所以MC〉MP

设AC=a,BC=b
三角形MPQ周长C=(根号(a^2+b^2)+a+b)/2
线段AB=根号(a^2+b^2)
C-AB=[(a+b)-根号(a^2+b^2)]
(a+b)^2-[根号(a^2+b^2)]^2=2ab>0
所以C-AB>0,即AB大于三角形MPQ的周长

AB大于三角形MPQ的周长