证明 有一个由2001个1和9个0组成的2010位数,无论1和0怎样组合,这样的数都不是完全平方数

证明:
记该数为n，
因为该数各位上数字和为2001*1+9*0=2001
3整除2001，9不整除2001
所以3整除n,9不整除n(注1)
这对完全平方数是不可能的(注2)。
(
注1：这儿使用引理：3或9整除自然数n当且仅当3或9整除n的各位数字之和。证明：因为10除以3或9均余1，所以任意k，a1,a2,....ak,
a1+a2*10+a3*10^2.....+ak*10^(k-1)被3或9整除当且仅当a1+a2+...
+ak被3或9整除。引理证毕。
注2：完全平方数n，一共有3种情况：
n=(3k)^2=9k^2
n=(3k+1)^2=9k^2+6k+1
n=(3k+2)^2=9k^2+12k+4
故n被3整除则一定被9整除

)