解两道微分函数

[f(π/2)-f(0)]/[g(π/2)-g(0)]=(π/2)³/[(π/2)²+1-1]=π/2
f'(x)/g'(x)=3x²/(2x)=3x/2
令x=π/3
则[f(π/2)-f(0)]/[g(π/2)-g(0)]=π/2=f'(π/3)/g'(π/3)
且π/3属于[0,π/2]
这就验证了柯西中值定理的正确性～

令f(x)=e^x
当x>1时，根据拉格朗日中值定理，总存在一个a>1,使得
f(x)-f(1)=f'(a)(x-1)
即e^x-e=f'(a)(x-1)
因为f'(a)=e^a>e^1=e
所以e^x-e>e(x-1)
化简即得：e^x>ex

1. 设a=0,b=π/2
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=π/2=f'(ξ)/g'(ξ)=3ξ^2/2ξ=3ξ/2
得ξ=π/3,在所给区间中.
即ξ是存在的,柯西中值定理是正确的.

2.设f(x)=e^x-ex,则f'(x)=e^x-e
在x>1时,设b>a>1
[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=e^ξ-e>0 (a<ξ<b)
所以f(b)>f(a)
所以f(x)=e^x-ex是增函数
e^x-ex>f(1)=0
e^x>ex