函数y=（2-2cosx)/(sinx-4)的值域是多少？

(2-2cosx)/(sinx-4)
=-2(cosx-1)/(sinx-4)
令k=(sinx-4)/(cox-1)
k的几何含义是单位圆上的点A(cosx,sinx)与圆外一点B(1,4)连线的斜率

设过点B(1,4)的与圆相切的直线的斜率为k
切线方程为： y=k(x-1)+4
一般式为：kx-y+(4-k)=0
因为是圆的切线，所以圆心O(0,0)到直线的距离等于圆的半径1
根据点到直线的距离公式：|4-k|/根号(k²+(-1)²)=1
|4-k|=根号(k²+1)
两边平方得
16-8k+k²=k²+1
k=15/8

过圆外一点与圆相切的直线应有两条，但解得只有一个k值，说明另一个k不存在，即另一条切线为x=1
斜率的取值范围是
15/8=<k<=正无穷
0=<1/k=<8/15
-16/15=<-2/k<=0

函数y=(2-2cosx)/(sinx-4)的值域为[-16/15,0]

f(a)=(2-2cosa)/(sina-4)
令x=2-2cosa,y=sin-4
(sina)^2+(cosa)^2=1
所以[(2-x)/2]^2+(y+4)^2=1
(x-2)^2/4+(y+4)=1

令(2-2cosa)/(sina-4)=x/y=k
y=x/k
则问题转化为直线y=x/k和椭圆(x-2)^2/4+(y+4)=1有公共点是k的取值范围
显然k的最大和最小是在相切时取到
代入
(x-2)^2+4(y+4)^2=4
x^2-4x+4+4x^2/k^2+32x/k+64-4=0
(1+4/k^2)x^2+(32/k-4)x+64=0
相切则方程的两个跟相等
所以(32/k-4)^2-256(1+4/k^2)=0
1024/k^2-256/k+16-256-1024/k^2=0