一道初二的数学竞赛题，急求解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 08:58:30
在（2k+1）（k+1）=（a+1）（a-1）中，（其中k和a都是正整数，2k+1是质数），为什么除了a+1=2k+1
a-1=k+1 这种情况外，就不能存在其他的解呢？
我们数学老师自己也讲不清，请各位数学高手帮帮忙，谢谢了！

2k+1是质数，a+1,a-1中至少有一个是2k+1的倍数.

若a-1是2k+1的倍数，
a-1=m(2k+1)≥2k+1,
a+1≥2k+3,
(2k+1)(k+1)=(a+1)m(2k+1),
k+1=m(a+1)≥a+1≥2k+3,
这是不可能的.

所以，a+1是2k+1的倍数，
设a+1=m(2k+1)，且m≥2.
a+1=m(2k+1)≥2(2k+1)，
a-1≥4k.
(2k+1)(k+1)=(a-1)m(2k+1),
k+1=m(a-1)≥a-1≥4k,
这是不可能的.

所以只有a+1是2k+1的倍数，且a+1=2k+1.
这时，a-1=k+1.
解得k=2,a=4.

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