高一:点(X , Y)在直线ax+by=0上,则√[ (X-a)^2+(Y-b)^2 ]的最小值为__

(X-a)^2+(Y-b)^2
=x^2+a^2+y^2+b^2-2(ax+by)
=x^2+a^2+y^2+b^2-2*0
=x^2+a^2+y^2+b^2
因为x^2>=0,y^2>=0
所以当x^2和y^2都取最小时即可
x^2和y^2可能的最小值是0
当x=y=0时取到
显然x=y=0符合ax+by=0
所以(X-a)^2+(Y-b)^2最小值=a^2+b^2
所以√[ (X-a)^2+(Y-b)^2 ]的最小值为√(a^2 +b^2)

用几何方法：√[ (X-a)^2+(Y-b)^2 ]很明显是两点间距离公式，即点（X，Y）到点（a，b）的距离。又因为（X，Y）在直线ax+by=0上，且（a，b）不在直线上（很容易验证）。所以“直线外一点到直线上点的距离，垂线段最短”，即求点（a，b）到直线ax+by=0的距离：（a^2+b^2）/√（a^2+b^2）=√（a^2+b^2）

答案为√(a^2 +b^2)
此法计算较为容易，看你习惯代数思维还是几何思维了！

因为a^2+b^2>=2ab所以(X-a)^2+(Y-b)^2>=2(x-a)(y-b)。求出(X-a)^2+(Y-b)^2的最小值就是2(x-a)(y-b)，由ax+by=0可用x表示出y来，代入上式就只剩下x了吧，其实就是关于x的二次函数。用二次函数的知识应该就可以解决问题了！具体我没做，还是自己做一遍，印象会深！