关于球面:为什么球面上任意两点连线中球面距离最短?求证明

首先，连接两点有一弦，在球面上，自然是圆弧最短，我们不考虑走诡异路线的连线；因为弦是一样的，你可以推算出在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短，可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）
证明：过在一个平面上的任意两点，可以作无数圆。利用平面几何的知识，可以很容易得出以下推论－在这些得到的圆中，如果半径越大，这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆，这两点所夹的圆弧长度达到最大。

过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上。在所有的可能存在的圆中，过这两点且过球心的那个平面所能切割出的圆有最大的半径（即球的半径），根据上面的推论，该平面所切的圆弧长度最短。

过在一个平面上的任意两点，可以作无数圆。利用平面几何的知识，可以很容易得出以下推论－在这些得到的圆中，如果半径越大，这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆，这两点所夹的圆弧长度达到最大。

要用泛函来做的

但是球面坐标上的运算太复杂,我自己做不来
曲面上两点间最短路径问题大概都可以用泛函来做
这类问题的最简形式就是求证平面两点间直线段最短,用泛函证起来很简单,我就会证,不过再复杂的我就把握不来了

1楼用的还是初等方法
初等方法有时极巧妙但很难触摸到本质,而且用到的"公理"太多,追究下去甚至可能导致循环证明,所以非高手一般不推荐使用

弦相等的情况下，弧线的曲率越大，弧长越大，而半径越小则曲率越大，所以半径越大，弧长越小，而球面距离就是最大的那个圆的弧长

设圆心为O，，两点为A、B，OA长度为r，AB球面距离为s,角AOB为a,s=ra(这里a取弧度，角度打起麻烦……）在平面OAB内的角a是最小的（也是就其他方式的角在平面ABC内的投影，所以球面距离是最短的……很浅显易懂吧……

本人初3，语文又不太好，表达能力很有限叙述不清请见谅请见谅……