如何证明: 若n是不能被4整除的正整数,则有5|1 ^n+2^n+3^n+4^n

n被4整除余1 则 1 ^n 2^n 3^n 4^n末位数分别是1，2，3，4 1 ^n+2^n+3^n+4^n末位数是0

n被4整除余2 则 1 ^n 2^n 3^n 4^n末位数分别是1，4，9，6 1 ^n+2^n+3^n+4^n末位数是0

n被4整除余3 则 1 ^n 2^n 3^n 4^n末位数分别是1，8，7，4 1 ^n+2^n+3^n+4^n末位数是0

若n是不能被4整除的正整数,则有1 ^n+2^n+3^n+4^n 是末位数是0的正整数，从而有5|1 ^n+2^n+3^n+4^n

4^n=(5-1)^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n
3^n=(5-2)^n=5^n-n*5^(n-1)*2+....+(-2)^n
n是不能被4整除的正整数
当n=4k+1或4k+3时
4^n+1^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n+1^n
=5^n-n*5^(n-1)+....
3^n+2^n=5^n-n*5^(n-1)*2+....+(-2)^n+2^n
=5^n-n*5^(n-1)*2+....
显然5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
当n=4k+2时
4^n+1^n=5^n-n*5^(n-1)+....+(-1)^n+1^n=5L+2(L表示整数)

3^n+2^n=5^n-n*5^(n-1)*2+....+(-2)^n+2^n
=5M+2*2^n
4^n+1^n+3^n+2^n=5L+5M+2+2*2^n=5(L+M)+2[4^(2k+1)+1]
有上面的证明可知
5|4^(2k+1)+1
所以5|1 ^n+2^n+3^n+4^n
综上所述
5|1 ^n+2^n+3^n+4^n