又是数学函数~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 17:46:45
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a,b属于R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0)，f(1)的值
（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论
（请写出详细过程）3X~

(1)f(0)=f(0*0)=0;
f(1)=f(1*1)=2*f(1)=0;
(2)因为f(1)=f(-1*-1)=-2*f(-1)
所以f(-1)=0;
因为f(-x)=-f(x)+x*f(-1)=-f(x)
所以f(x)是奇函数!

已知f（x）是定义在R上的奇函数。且满足f（3+x）=f（3-x），若x∈（0，3）时，f（x）=2＾x
则x∈（-6，-3）时，f（x）=？

当 x ∈（-6，-3）时，x+6 ∈（0, 3)，
所以 f(x+6) = 2^(x+6)
又根据“f(x)是奇函数”及“f(3+x)=f(3-x)”，可得
f(x) = -f(-x) = -f[3-(3+x)] = -f[3+(3+x)] = -f(6+x)= -f(x+6)
所以 f(x) = -2^(x+6) （ x∈(-6，-3））