数列1,1/1+2,1/1+2+3,……1/1+2+3+…+n的前n项和为多少?

1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)=2(1/n-1/(n+1))

1,1/1+2,1/1+2+3,……1/1+2+3+…+n的前n项和
=2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+...+2(1/n-1/(n+1))
=2(1-1/(n+1))
=2n/(n+1)

可以观察到，分母是首项为1，公差为1的等差数列和
所以分母=(n+1)n/2,其中n=1,2,3...33
1/[(n+1)n/2]=2/[(n+1)n]=2[(1/n)-(1/n+1)]

前n项和是：
S＝2（1/1-1/2+1/2-1/3....1/n-1/(n+1)}
=2(1-1/(n+1))
=2n/(n+1)