已知f（x）=ax+（1-x）/ax，其中a〉0，讨论f（x）在（0，正无穷）上的单调性

已知f（x）=ax+（1-x）/ax，其中a〉0，讨论f（x）在（0，正无穷）上的单调性

f（x）=ax+（1-x）/ax
f(x)=(ax)+1/(ax)-(1/a)
我用证明的方法吧！你可能不是高二学生，不会导数。
设m<n
f(m)-f(n)
=am+1/(am)-an-1/(an)
=a(m-n)-(m-n)/(amn)
=(m-n)[a-1/(amn)]

当m,n∈(0,1/a)时
m－n<0
amn<1/a
1/(amn)>a
a-1/(amn)<0
f(m)-f(n)=(m-n)[a-1/(amn)]>0
m<n
f(m)>f(n)
所以在x∈(0,1/a)时
f(x)是减函数

当m,n∈(1/a ,+∞)时
m－n<0
amn>1/a
1/(amn)<a
a-1/(amn)>0
f(m)-f(n)=(m-n)[a-1/(amn)]<0
m<n
f(m)<f(n)
所以在x∈(1/a ,+∞)时
f(x)是增函数

综上所述
x∈(0,1/a)
f(x)是减函数
x∈(1/a ,+∞)
f(x)是增函数

(0 1/根号a）单调减
其它单调增

f=ax+1/ax-1/a.
因为ax>0
所以,当ax=1/ax,即x=a时,有ax+1/ax最小值2a
(0,a)递减.(a,正无穷)递增

用导数也能求解

f(x)=ax+(1-x)/ax=ax+(1/ax)-(1/a) a>0, x∈(0. +∞). 对x取导数得:
f′(x)=a-(1/ax²)=[(ax)²-1]/ax²=(ax+1)(ax-1)/ax²
∵a>0,