1*2分之1+2*3分之一+3*4分之一一直加到99*100分之一等于多少？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 02:27:28
我知道答案，但想知道为什么，请说清楚理由~~

题：1乘2分之一+2乘3分之一+3乘4分之一+......=99乘100分之一

一定要说清为什么~~~为什么要抵消？？
太难了，我是小学生饿~

标准做法是裂项法,把每一项都裂成两项,跟相邻的项抵消.如果你不想裂项也可以,自己硬算!!

本题中,是一些分数在相加,对吧.

每个分数的分母是两个相邻的整数的乘积,分子是1.

而1可以写成两个相邻整数的差,比如说
1=2-1=3-2=4-3=...=100-99,对吧.

这样每个分数的分子可以写成分母表达式中的那两个整数的差,从而这个分数可以写成两个分数相减.比如说:
1/1*2
=(2-1)/1*2
=2/1*2-1/1*2
=1-1/2;

1/2*3=(3-2)/2*3=1/2-1/3;

...

1/98*99=1/98-1/99;

1/99*100=1/99-1/100.

所以,
1/1*2+1/2*3+......+1/99*100
=[(2-1)/1*2]+[(3-2)/2*3]+...+[(100-99)/99*100]
=[1-1/2]+[1/2-1/3]+....+[1/99-1/100]
=1+[-1/2+1/2]+[-1/3+1/3]+....+[-1/99+1/99]-1/100
=1-1/100
=99/100

1/n*(n+1)=1/n-1/(n+1)
所以
原式=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/99-1/100=1/2-1/100=49/100
这是裂项求和两两相消
与此类似的题有很多

这是一个典型的裂项法
1/n-1/(n+1)通分得(n+1-n)/n(n+1)=1/n(n+1)

1/1*2+1/2*3+1/3*4……+1/99*100
=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/98-1/99+1/99-1/100
中间这些项正好都是一正一负，所以都抵消了
只剩下头尾两项
=1/1-1/100
=99/100

1/1*2+1/2*3