几何问题，30分基本+50分追加

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 19:01:37
如果△ABC中，重心为D，过D点作线段EF，交AB于E，交AC于F。求证：
AB/AE+AC/AF=3

说明：
1：此题绝对不会存在谁抢答谁就容易采纳，我12小时连续在线；
2：用向量法证明，追加20分；
3：用2种方法的，追加50分；
4：截止至今天21点以前我会选择采纳答案；
5：我追加分，说话算数。

连接BF和CE，连接AD并延长交BC于点K，K是BC中点
根据等高三角形面积比等于底边比
AB/AE=S(ABF)/S(AEF)=[S(AEF)+S(BEF)]/S(AEF)=1+S(BEF)/S(AEF)
AC/AF=S(ACF)/S(AEF)=[S(AEF)+S(CEF)]/S(AEF)=1+S(CEF)/S(AEF)
要证AB/AE+AC/AF=3，只需证S(BEF)/S(AEF)+S(CEF)/S(AEF)=1
只需证S(BEF)+S(CEF)=S(AEF)

AD=2DK，所以S(AEF)=2S(KEF)－－(1)
过B,K,C分别作BM,KN,CP垂直EF，M,N,P为垂足
因为K是BC中点为，易得BM+CP=2KN
三角形BEF，KEF，CEF都以EF为底边
则有：S(BEF)+S(CEF)=2S(KEF)－－(2)
(1)(2)得：S(BEF)+S(CEF)=S(AEF)
所以AB/AE+AC/AF=3

向量法：
设AB/AE=m,AC/AF=n
则AE=(1/m)AB,AF=(1/n)AC
因为D是三角形ABC的重心
所以AD=(2/3)×(1/2)×(AB+AC)=(1/3)AB+(1/3)AC－－(1)
因为D在直线EF上
所以AD=λAE+(1-λ)AF=(λ/m)AB+[(1-λ)/n]AC－－(2)
由(1)(2)得
λ/m=1/3
(1-λ)/n=1/3
所以(m/3)+(n/3)=1
m+n=3，即AB/AE+AC/AF=3

靠 骗人也得讲点智商啊

LS两位都很强大，很正确

向量坐标法解决.
把B(0,0)放在原点,A(M,N) C(P,0)
由重心坐标公式D((M+P)/3,N/3)
由于E在直线AB上,设E分AB的比为a,F分AC的比为b,
由定比分点公式．
E（M/(1+a),N/(1+a))
F((M+bP)/(1+b),N/(1+b))
E,F,D三点共线