一道函数值域题(答得好有加分)

证明如下命题
-1/4<=x(1-x^2)/(1+x^2)^2<=1/4
-1<=4x(1-x^2)/(1+x^2)^2<=1

等价
x^4+4x^3+2x^2-4x+1>=0
x^4-4x^3+2x^2+4x-1>=0

(x^4+4x^3+2x^2-4x+1)'=4(x+1)(x^2+2x-1)
x=-1
x=-1+-√2

(x^4－4x^3+2x^2＋4x+1)'=4(x－1)(x^2－2x-1)
x=1
x=1+-√2

g(x)min=(x^4+4x^3+2x^2-4x+1)min＝g(-1+-√2)=0
Q(x)min=(x^4-4x^3+2x^2+4x+1)min=Q(1+-√2)=0
证完啦！-1/4<=y<=1/4

用导数的方法求

题目好像有问题。。。。

首先，分母为(1+x^2)^2,永远大于等于1。分子是奇函数，所以值域是关于0对称的区域。如果x取绝对值很大的数，y的绝对值小于1，所以值域为-1<y<1.

y=(x-x^3)/(1+2x^2+x^4)
=x(1+x)(1-x)/(x^2+1)^2

当y=0的时候 x=1,-1或0
当0<x<1或x<-1时 y>0
当x=1或x=-1或x=0时 y=0
当-1<x<0或x>1 y<0

1. 分母(1+2x^2+x^4)恒大于0.

2.分子化为X（X-X^2）

3.分类讨论
当X<=-1，0<X<1时，Y>=0
当-1<X<0，X>=1时，Y<=0