高等数学导数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 12:03:21
当x不等于0时,函数f(x)=xsin(1/x);当x等于0时,函数f(x)=0,则在x=0处( )
A:连续,且可导 B:连续,不可导
C:不连续D:不仅可导,导数也连续

证明;f(x)=xsin(1/x),当x≠0;f(x)=0,当x=0.
f(x)在点x=0连续但不可导,即f'(0)不存在.
∵x→0limf(x)=x→0lim(xsin1/x)=0=f(0),极限等于函数值,
∴f(x)在点x=0连续.(其中x是无穷小量,sin1/x是有界函数,
故x→0lim(xsin1/x)=0).
但f'(0)不存在.∵当x=0时,
△y/△x=[f(0+△x)-f(0)]/△x=[f(△x)-f(0)]/△x =△xsin(1/△x)/△x=sin(1/△x),
极限△x→0lim(△y/△x)=△x→0limsin(1/△x)不存在.因为当△x→0时,
sin(1/△x)在-1与1之间无限次振动

选B

B