近世代数几道题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 12:37:57
1. 在实数集R中定义运算“O”为:aob=ab-2a-2b+6 ，判别=(R,o) 是否为群。
2. 设G是2n阶交换群,n是奇数,证明G有且仅有一个2阶子群.
3. 设R是一个有单位元的环,R中元素有右逆元,证明:a是R的左零因子<=>a有多于一个的右逆元.

不会做,请哪位指教

分太少了
1、容易验证ab=ba,(ab)c=a(bc),单位元为3，a的逆元为(2a-3)/(a-2),所以(R,o)是加法群
2、
3、右→左：
ab=ac=1(b≠c）则a(b-c)=0，但b-c≠0，所以a是R的左零因子
左→右：
因为au=0(u≠0），因为a有右逆元不妨设ab=1,则
ab=ab+au=a(b+u)=1，所以b+u也是a的一个异于b的右逆元。
证毕！

2、将G的元x和逆元x^-1配对，若G无2阶群，则除了幺元1外x≠x^-1，G为奇数阶群，矛盾,所以G一定有2阶子群。
设x,y都是2阶元，考虑G的4阶子群H={1,x,y,xy}，所以4整除2n，与n为奇数矛盾，所以2阶子群仅有一个。

真正的小气