已知a,b∈R+,a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2

证明：左>=2(a+1/a)(b+1/b)=2(ab+1/ab+a/b+b/a)
考虑f(x)=x+1/x,因为0<ab<=(a+b)^2/4=1/4，f(ab)在(0,1/4]为减函数
f(ab)>=f(1/4)=17/4
而a/b+b/a>=2
所以左>=2(17/4+2)=25/2
当且仅当a=b=1/2时等号成立。

已知a,b∈R+,a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2
左边=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥[(a+1/a)+(b+1/b)]²/2
=(1+1/a+1/b)²/2
1/a+1/b≥2(1/√a)(1/√b)=2/√ab
又a+b≥2√ab
=>1/√ab≥2/(a+b)
则1/a+1/b≥4/(a+b)=4
则(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥（1+4）²/2=25/2