数学--不等式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 08:47:02
已知x，y属于正实数，且1/x+4/y=1,求x+y最小值。

这样做可不可以？

1/x+4/y>=2*根号4/xy,

即根号16/xy<=1,得xy>=16，当且仅当1/x=4/y=1/2时取等号，得x=2，y=8，即x+y=10.

可是答案是9 啊，这样的做法哪错了呢？

错在当xy取最小值时，x+y并不取最小值，两者之间没有直接关系。

正确解法：
(x+y)(1/x+4/y)
=1+(y/x)+(4x/y)+4
=5+(y/x)+(4x/y)
>=5+2根号[(y/x)(4x/y)]
=5+4
=5
因为x+y=1，所以1/x+4/y>=9，1/x+4/y的最小值是9
此时，y/x=4x/y，y=2x，x=3，y=6

或者

直接由柯西不等式得
(x+y)(1/x+4/y)>=(1+2)²
因为x+y=1，所以1/x+4/y>=9

你x＝2，y＝8时去等号，是求的xy的最大值……人家让求x+y的最小值，显然不对题，所以错了