已知点（4，a）到直线4X-3Y-1=0的距离不大于3，则实数a的取值范围是

根据点到直线的距离公式：d=|Ax0+By0+C|/根号(A²+B²)
点(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3可表示为
|4×4-3a-1|/根号(4²+(-3)²)<=3
|15-3a|/5<=3
|15-3a|<=15
-15=<15-3a<=15
0=<3a<=30
0=<a<=10

距离=|16-3a-1|/√(4^2+3^2)≤3
|3a-15|≤15
|a-5|≤5
-5≤a-5≤5
0≤a≤10

直线4X-3Y-1=0的斜率是(4/3)
则直线4X-3Y-1=0与x轴夹角的sin值为4/5

直线4X-3Y-1=0与x=4的交点是(4,5)
（且这两条线的夹角的sin值为3/5，由斜率可计算的）

从x=4上的点向直线4X-3Y-1=0做垂线，设垂线长度为3
则根据夹角的sin为3/5得出，该点到(4,5)的距离为5，
换句话说，该点只能是(4,0),或者(4,10)

所以 0 <= a <= 10