高等数学中有关用定义证明数列极限的几个问题，望高人赐教

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/02 11:03:16
首先，同济五版高数（上）27页最上，在证明Xn=(-1)^n/(n+1)^2的极限为0时:|Xn-a|=|(-1)^n/(n+1)^2-0|=1/(n+1)^2 < 1/(n+1)然后才令1/(n+1)<$（那个符号我打不出来）
这步放缩是必须的么？其意义何在？

其次，同济五版高数（上）30页习题1-2第3题，在证 根号下(n^2+a^2)除n的极为1的过程中书上采取通分后分子有理化的办法，最后化成a^2/2n^2
请问一定要这么做么？我第一次做的时候直接放缩成a/n了……

总之，这种证明的过程都是唯一的么？如果是的话，其放缩、有理化等处理的原则是什么呢？

这种证明中放缩的过程不是唯一的,注意两点:
(1)目的是能够或方便地解出你需要的$或N等这类对象.
(2)原则是适当放缩,是指不能放得太大(或缩得太小),否则就控制不住了.
明白了么?
比如,上题中,可以从1/(n+1)^2放成1/n^2;也可以将书上的1/(n+1)再放成1/n,你比较一下,注意我提示的第1点.
再谈你的第2题,你直接放缩成a/n,很好,书上有理化处理,一是说明方法不唯一,二是介绍了有理化的方法,有它的意图.但如果放成根号下(n^2+a^2),就放得太大了,注意我提示的第2点.