九只杯口向上的杯子，每次将四只杯子同时翻转，问能否经过这样多次的翻转后使杯口全部向下，为什么

不能。
从单个杯子来看，被翻转成杯口朝下的状态，需要翻转的次数应该是奇数次，如果是偶数次，则杯口朝上。
如此，则9个杯子被翻转的总次数是9个奇数的和，得到的依旧是个奇数。
而由题意，每轮翻转的次数是4次（4个杯子各翻1次），无论你翻转多少轮，总次数都是4的倍数，这是个偶数。
所以不能经过这样的翻转让杯口全部朝下。

第2题是不是确实条件“每人至少达到1次”？
如果每人至少达到1次的话：
A1为第一次的10人，A2是第二次的13人，A3是第三次的15人。
A1∩A2、A1∩A3、A2∩A3是分别达到过两次的，其中还有重合部分A1∩A2∩A3，这部分是达到过3次的，被重叠了两次。
A1∩A2+A1∩A3+A2∩A3-2*A1∩A2∩A3为达到过两次的总人数。
只达到过两次的人数应当把达到3次的减去，则只达到两次的人数是：
A1∩A2+A1∩A3+A2∩A3-3*A1∩A2∩A3

A1+A2+A3-A1∩A2-A1∩A3-A2∩A3+A1∩A2∩A3=25
A1∩A2+A1∩A3+A2∩A3=10+13+15+1-25=14
A1∩A2+A1∩A3+A2∩A3-3*A1∩A2∩A3=11

不能。解如下：
若将杯口朝上的杯子记为＋1，杯口朝下的杯子记为－1，则未翻动以前杯口全部朝上，对应的数的积为＋1，每一次翻动，都将其中的4个乘以－1，而（－1）×（－1）×（－1）×（－1）＝1，因此不论几次运动，9个元素的积都为＋1．若杯口全部朝下，其积应为（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）＝－1．

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10+13+15-25-1=12人

36次
4*9=36