几道数学题 麻烦高手解下

1 设S是大于4的整数，存在两个实数U，V满足条件U+V=UV=S。求证U，V都是无理数。
2 若a.b都是有理数，且a<b,则必存在一个无理数d使得d在a,b之间。
3 求证：(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(ab+1/ab)^2=4+(a+1/a)(b+1/b)(ab+1/ab)
4 已知10^a=A,10^b=B,10^c=C,且a+b+c=0.求证:A^1/b+1/c·B^1/c+1/a·C^1/a+1/b=1/1000

请大家帮帮忙
能答一道的也十分谢谢
那个3题``除了把括号打开就没其他方法吗？```

如果有哪个天才能把2题做出来``那就太太太谢谢列`` ^0^

1）设s是大于4的整数，存在两个实数u,v满足条件u+v=uv=s，求证u、v都是无理数。

u,v是方程$x^2-sx+s=0$的两个根，$u,v=[-s±sqrt（s^2-4）]/2$,只需证明$sqrt（s^2-4）$是无理数，

事实上，s是大于4的整数，$(s-3)^2<s^2-4<(s-2)^2$,故$sqrt（s^2-4）$是无理数。

sqrt是根号

2）不知道

3）左边＝a^2+1/a^2+2+b^2+1/b^2+2+a^2b^2+1/(a^2*b^2)+2
= a^2+1/a^2+b^2+1/b^2+a^2b^2+1/(a^2*b^2)+6
右边＝4+2+ a^2+1/a^2+b^2+1/b^2+a^2b^2+1/(a^2*b^2)
＝a^2+1/a^2+b^2+1/b^2+a^2b^2+1/(a^2*b^2)+6
左边＝右边。

1.根据题意
u+v=s
uv=s
所以u,v是一元二次方程x^2-sx+s=0的两根
若一元二次方程有有理根则其判别式必为完全平方数
即s^2-4s为平方数
s^2-4s=(s-2)^2-4
考虑最接近的两个自然数，其平方差(k+1)^2-k^2=2k+1
k=0或k=1不符题意
k>2时(k+1)^2-k^2>4
所以s^2-4s不是完全平方数
所以U，V都是无理数

U+V=S
UV=S
韦达定理
UV是xx－Sx＋S=0的2根
判别式＝ss-4s＋4－4
＝(s-2)^2-4
S是大于4的整数
S－2是大于2的整数
S－2是>=3的整数
(s-2)^2-4不是完全平方数
(s-3)^2=s^2-6s+9<(s-2)^2-4<(s-2)^2
无整数解，所以UV不是有理数

2
[r]表示不超过实数r的最大整数