两道函数的题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/08 14:40:28
【题Ⅰ】已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).
⑴求证：f(x)是周期函数;
⑵若f(x)是奇函数，有0≤x≤1时，f(x)=1/2x,求x∈[-1,3)的解析式。
【题Ⅱ】已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,b∈R都满足：f(a*b)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论。

I （1）证明： 由题意得f(x)=-f(x-2) 又f(x)=-f(x+2)
所以f(x-2)=f （x+2) 所以f(x)是周期函数。
（2）由（1）得f(x)为周期T=4的周期函数 又f(x)为奇函数 所以[-2，2]为一
个周期 0≤x≤1时，f(x)=1/2x 由奇函数得 -1≤x〈0 得 f(x)=-1/2x
当 0≤x〈2 f(x)=1/2x 当2≤x<3时 f(x)=-1/(2x-8)
II 令a=1 b=1 时 得f(1)=0 令a=-1 b=-1 得f(-1)=0 令a=x b=-1 得
f[x*(-1)]=xf(-1)-1*f(x) 得f(-x)=-f(x) 又令a=0 b=0 得 f(0)=0 所以f(x)为奇函数