高一函数（有回答了再加分）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 07:01:06
已知函数f(x)在〔0，＋∞）上是减函数且f(2)=1,试判断F（x)=f(x)+1/f(x)在区间〔0，2〕上的单调性，并加以证明．

解:F（x)=f(x)+1/f(x)在区间〔0，2〕上是减函数。设x2≥x1≥0，则由题意知f（x1）≥f（x2）≥0，F（x2）-F（x1）=f（x2）-f（x1）+ [1/f(x2)-1/f(x1)]=[f(x1)-f(x2)]/f(x1)f(x2)-[f(x1)-f(x2)],由前设及f(2)=1知,在区间〔0，2〕上，f（x1）≥f（x2）>0，f(x1)-f(x2)≥0,f(x1)f(x2)≥1,[f(x1)-f(x2)]/f(x1)f(x2)≥0，[f(x1)-f(x2)]/f(x1)f(x2)的绝对值≤f(x1)-f(x2)的绝对值，所以F(x2)-F(x1)≤0,所以F（x)=f(x)+1/f(x)在区间〔0，2〕上是减函数。