五点共圆的条件

题目：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证：K、O、N、M、L五点共圆。

证明：连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA

∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180°

∴A、I、N、C四点共圆

同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆

∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN又∠LMG＝180°－∠LFG＝∠LFA＝∠LKA

∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）

∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）＋∠LKN＝180°

故K、L、M、N四点共圆

同理可证O、L、M、N四点共圆

∴K、O、N、M、L五点共圆证毕。

【提示】此题也可以运用密格尔（A．Miquel）定理证明。密格尔定理：已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那么，这四个三角形的外接圆共点。

两两连接 做4条连线的垂直平分线 4线交于一点 即5点共圆